У
таких завданнях той, хто розв’язує задачу повинен локалізувати предмет, що
відрізняється від інших по вазі за обмежене число зважувань. Пошук
розв’язування в цьому випадку здійснюється шляхом операцій порівняння, правда,
не лише одиночних елементів, але і груп елементів між собою. Розв’язуючи такі задачі не забувайте
розібрати всі варіанти. Якщо шукаєте фальшиву монету, то корисно поділити всі
монети на три кучки, при цьому кількість зважувань зменшується.
Приклади розв’язування задач
1.У Буратіно є 27 золотих монет. Але відомо, що Кіт
Базиліо замінив одну монету на фальшиву, і вона по вазі важче справжніх. Як за три
зважування на шалькових терезах без гир Буратіно знайти фальшиву монету?
Розв’язання:
Розділимо монети на 3 купки по 9 монет. Покладемо на шальки терезів
першу і другу купки; в результаті цього зважування ми точно дізнаємось, в якій
з купок знаходиться фальшивка (якщо терези покажуть рівність, то вона - в
третій купці). Тепер, аналогічно, розділимо вибрану купку на три частини по три
монети, покладемо на терези дві з цих частин і визначимо, в якій з частин
знаходиться фальшива монета. Нарешті, залишається з трьох монет визначити
важчу: кладемо на шальки терезів по 1 монеті - фальшивою є важча; якщо ж на терезах
рівність, то фальшивою є третя монета з частини.
2. Серед 101 однакових за виглядом монет одна
фальшива, така, що відрізняється за вагою. Як за допомогою
шалькових
терезів без гир за два зважування визначити, легшою або важчою є фальшива
монета? Знаходити її не потрібно.
Розв’язання:
Зважуємо 50 і 50 монет, можуть бути два випадки.
1 випадок. Монети мають однакову вагу. Беремо
монету, що залишилася, і ставимо її в ліву купку замість однієї з тих, що є
там:
а) ліва купка важча => фальшива монета важча;
б) ліва купка легша => фальшива монета
легша.
2 випадок. Монети мають різну вагу. Беремо важчу
купку і розбиваємо її на дві купки по 25 монет:
а) вага купок однакова => фальшива монета легша;
б) вага купок неоднакова => фальшива монета
важча.
3. Є 8 монет. Одна з них фальшива і легша за
справжню монету. Визначить за 3 зважування яка з монет фальшива.
Розв’язання:
Ділимо монети на дві рівні купки – по 4 монети в
кожній. Зважуємо. Ту купку, яка легша, знову ділимо на дві однакові купки –
тепер по дві монети в кожній. Зважуємо. Визначаємо, яка з них легша. Кладемо на
шальки терезів по 1 монеті з цієї купки.
Фальшива та, яка легша.
4. Є сім зовні однакових монет, серед яких п‘ять
справжніх (усі однакової маси) і дві фальшиві (однакової маси, але легші за
справжні). Як за допомогою двох зважувань на шалькових терезах без гир виділити
три справжні монети?
Розв’язання:
Занумеруємо
монети числами 1, 2, 3, … , 7. Першим зважуванням порівняємо монети 1, 2, 3 з
монетами 4, 5, 6. Якщо маси рівні, то в кожній трійці по одній фальшивій
монеті, а монета 7 справжня. Тоді наступним зважуванням порівняємо монети 1 і
2. Якщо їхня маса однакова, то вони справжні, а якщо ж ні, то важча з монет 1,
2 монета 3 і монета 7 – справжні. Якщо під час першого – початкового –
зважування переважила одна з груп, то всі її монети справжні.
5. Є 40 зовні однакових монет, серед яких 2
фальшиві, причому вони легші від справжніх і важать однаково. Як за допомогою
двох зважувань на шалькових терезах без гир відібрати 20 справжніх монет?
Розв’язання:
Розіб‘ємо
монети на три купки: А, В і С, що містять по 10, 10 і 20 монет відповідно.
Перше зважування: порівняємо вагу А і В. Можливі два випадки. Якщо А=В, то
порівнюємо вагу А+В і С. Якщо A>B
(другий випадок аналогічний), то розіб‘ємо С на дві купки по 10 монет і
порівняємо їхню вагу.
Задачі ІІ та ІІІ етапів Всеукраїнських учнівських
олімпіад та вказівки до їх розв’язання можна переглянути тут.
Немає коментарів:
Дописати коментар